微分積分例

$\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1

群による因数分解。

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ステップ 4.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 1 \cdot 1 = 1$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.4.1.1.1

$- 2$ を $- 2 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.1.2

$- 2$ を $- 1$ プラス $- 1$ に書き換える

$\frac{e^{x} x^{2} + (- 1 - 1) (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 (e^{x} x) - 1 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.1.4

括弧を移動させます。

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.4.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x) - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{e^{x} x (x - 1) - 1 e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.3

最大公約数 $x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(x - 1) (e^{x} x - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - 1 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2.2

$e^{x}$ を $- 1 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{(x - 1) e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

指数をまとめます。

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ステップ 4.4.3.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3.2

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

$\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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