微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7}$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{1} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.1.5

指数を求めます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.3.6.5

指数を求めます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.4.2

$5$ に $7$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{35}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.5

$\frac{\sqrt{35}}{7}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{35} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.1.6.1

積の法則を $\frac{\sqrt{35} \sin (t)}{7}$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{(\sqrt{35} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.6.2

積の法則を $\sqrt{35} \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{\sqrt{35}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.7

${\sqrt{35}}^{2}$ を $35$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{35}$ を $35^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.7.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.7.5

指数を求めます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.8

$7$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.9

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.9.1

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 (- 1) \frac{35 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.9.2

$7$ を $49$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 \cdot - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.9.3

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 \cdot - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.9.4

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.10

$35$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.10.1

$7$ を $35 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.10.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.10.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.10.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{5 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.10.2.4

$5 \sin^{2} (t)$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 (5 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.1.11

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.2

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1) - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.3

$5$ を $- 5 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.4

$5$ を $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{5 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.6

$5$ と $\cos^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{\cos (t) \sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7}$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{5} \cdot 7} d t$

ステップ 2.2.2

$7$ を $\cos (t) \sqrt{5}$ の左に移動させます。

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7 \cdot (\cos (t) \sqrt{5})} d t$

ステップ 2.2.3

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7 \cos (t) \sqrt{5}} d t$

ステップ 2.2.3.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} d t$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} t + C$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} t + C$ を $\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$

ステップ 4.2

$\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$ を $\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

ステップ 4.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{\sqrt{5}})$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{\sqrt{5}}) + C$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} x) + C$

微分積分 例

微分積分例