微分積分例

$\sum_{j = 1}^{15} {(j - 1)}^{3}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

二項定理を利用します。

$j^{3} + 3 j^{2} \cdot - 1 + 3 j {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 1.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

ステップ 1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j + {(- 1)}^{3}$

ステップ 1.2.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1$

ステップ 1.3

総和を書き換えます。

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1 = \sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 \sum_{j = 1}^{15} j^{2} + 3 \sum_{j = 1}^{15} j + \sum_{j = 1}^{15} - 1$

ステップ 3

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $3$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$\frac{15^{2} {(15 + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$15$ と $1$ をたし算します。

$\frac{15^{2} \cdot 16^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.2

$15$ を $2$ 乗します。

$\frac{225 \cdot 16^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.3

$16$ を $2$ 乗します。

$\frac{225 \cdot 256}{4}$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$225$ に $256$ をかけます。

$\frac{57600}{4}$

ステップ 3.3.2.2

$57600$ を $4$ で割ります。

$14400$

ステップ 4

$3 \sum_{j = 1}^{15} j^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 3) (\frac{15 (15 + 1) (2 \cdot 15 + 1)}{6})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$15$ と $1$ をたし算します。

$- 3 \frac{15 \cdot 16 (2 \cdot 15 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$15$ に $16$ をかけます。

$- 3 \frac{240 (2 \cdot 15 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.2.2

$2$ に $15$ をかけます。

$- 3 \frac{240 (30 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.3

$30$ と $1$ をたし算します。

$- 3 \frac{240 \cdot 31}{6}$

ステップ 4.3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$240$ に $31$ をかけます。

$- 3 (\frac{7440}{6})$

ステップ 4.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$3 (- 1) \frac{7440}{6}$

ステップ 4.3.2.2.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 \cdot - 1 \frac{7440}{3 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 1 \frac{7440}{3 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.2.4

式を書き換えます。

$- 1 (\frac{7440}{2})$

ステップ 4.3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

$7440$ を $2$ で割ります。

$- 1 \cdot 3720$

ステップ 4.3.2.3.2

$- 1$ に $3720$ をかけます。

$- 3720$

ステップ 5

$3 \sum_{j = 1}^{15} j$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 5.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(3) (\frac{15 (15 + 1)}{2})$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$15$ と $1$ をたし算します。

$3 \frac{15 \cdot 16}{2}$

ステップ 5.3.2

$15$ に $16$ をかけます。

$3 (\frac{240}{2})$

ステップ 5.3.3

$240$ を $2$ で割ります。

$3 \cdot 120$

ステップ 5.3.4

$3$ に $120$ をかけます。

$360$

ステップ 6

$\sum_{j = 1}^{15} - 1$ の値を求めます。

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ステップ 6.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 6.2

値を公式に代入します。

$(- 1) (15)$

ステップ 6.3

$- 1$ に $15$ をかけます。

$- 15$

ステップ 7

合計した結果を足します。

$14400 - 3720 + 360 - 15$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$14400$ から $3720$ を引きます。

$10680 + 360 - 15$

ステップ 8.2

$10680$ と $360$ をたし算します。

$11040 - 15$

ステップ 8.3

$11040$ から $15$ を引きます。

$11025$

微分積分 例

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