微分積分例

$3 y^{2} - 2 x^{2} = 6 - 2 x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (6 - 2 x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 y^{2} - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 y y' - 2 (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$6 y y' - 4 x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $6 - 2 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 3.1.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 3.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$0 - 2 (x y' + y)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$0 - 2 (x y') - 2 y$

ステップ 3.3.2

$0$ から $- (- 2 x y' - 2 y)$ を引きます。

$- 2 x y' - 2 y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$6 y y' - 4 x = - 2 x y' - 2 y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2 x y'$ を足します。

$6 y y' - 4 x + 2 x y' = - 2 y$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $4 x$ を足します。

$6 y y' + 2 x y' = - 2 y + 4 x$

ステップ 5.3

$2 y'$ を $6 y y' + 2 x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$2 y'$ を $6 y y'$ で因数分解します。

$2 y' (3 y) + 2 x y' = - 2 y + 4 x$

ステップ 5.3.2

$2 y'$ を $2 x y'$ で因数分解します。

$2 y' (3 y) + 2 y' x = - 2 y + 4 x$

ステップ 5.3.3

$2 y'$ を $2 y' (3 y) + 2 y' x$ で因数分解します。

$2 y' (3 y + x) = - 2 y + 4 x$

ステップ 5.4

$2 y' (3 y + x) = - 2 y + 4 x$ の各項を $2 (3 y + x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 y' (3 y + x) = - 2 y + 4 x$ の各項を $2 (3 y + x)$ で割ります。

$\frac{2 y' (3 y + x)}{2 (3 y + x)} = \frac{- 2 y}{2 (3 y + x)} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (3 y + x)}{2 (3 y + x)} = \frac{- 2 y}{2 (3 y + x)} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 2 y}{2 (3 y + x)} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.2.2

$3 y + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 2 y}{2 (3 y + x)} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y}{2 (3 y + x)} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.1.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (3 y + x)} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (3 y + x)} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y}{3 y + x} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{3 y + x} + \frac{4 x}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.3.1.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.3.1

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$y' = - \frac{y}{3 y + x} + \frac{2 (2 x)}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y}{3 y + x} + \frac{2 (2 x)}{2 (3 y + x)}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y}{3 y + x} + \frac{2 x}{3 y + x}$

ステップ 5.4.3.2

項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y + 2 x}{3 y + x}$

ステップ 5.4.3.2.2

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y) + 2 x}{3 y + x}$

ステップ 5.4.3.2.3

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y) - (- 2 x)}{3 y + x}$

ステップ 5.4.3.2.4

$- 1$ を $- (y) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y - 2 x)}{3 y + x}$

ステップ 5.4.3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 5.4.3.2.5.1

$- (y - 2 x)$ を $- 1 (y - 2 x)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (y - 2 x)}{3 y + x}$

ステップ 5.4.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y - 2 x}{3 y + x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2 x}{3 y + x}$

微分積分 例

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