微分積分例

$y = \arcsin (\arccos (t))$

ステップ 1

$f (t) = \arcsin (t)$ および $g (t) = \arccos (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\arccos (t)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\arccos (t)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

ステップ 2

$t$ に関する $\arccos (t)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}})$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}}$ に $\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}}$

ステップ 3.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{(1 - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

ステップ 3.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{(1^{2} - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \arccos (t)$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 - t^{2})}}$

ステップ 5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1^{2} - t^{2})}}$

ステップ 6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = t$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 + t) (1 - t)}}$

微分積分 例