微分積分例

${(x + 1)}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(x + 1)}^{x}$ を $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}]$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x + 1)}^{x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x + 1)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x \ln (x + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x \ln (x + 1)$ で置き換えます。

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x \ln (x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x + 1}$ と $x$ をまとめます。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.5

式を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.5.2

$\frac{x}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

ステップ 5.7

$\ln (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1))$

ステップ 6

$\ln (x + 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1})$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 8

$e^{x \ln (x + 1)}$ と $\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$ をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1)}{x + 1}$

ステップ 9.1.1.2

$\ln (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 9.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 9.1.3

$e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x e^{x \ln (x + 1)} + x e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 9.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} x \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

微分積分 例

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