微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt[3]{1} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x - 1)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.10

$- 2$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.6.2.2

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.7

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

ステップ 1.3.8

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

ステップ 1.3.8.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

ステップ 1.3.8.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

ステップ 1.3.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

ステップ 1.3.9.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

ステップ 1.3.9.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

ステップ 1.3.9.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

ステップ 1.3.9.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

ステップ 1.3.9.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

ステップ 1.3.10

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.12

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.14

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.15

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 + 0}$

ステップ 1.3.16

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.4

$x^{\frac{1}{3}}$ を $\sqrt[3]{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.2

$- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ に $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.7

$\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1 + 2}{3}}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.11

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.12

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.12.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.3.12.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 2}$

ステップ 1.5.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 2}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}} \cdot \frac{1}{2 x - 2}$

ステップ 2.1.2

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}$ に $\frac{1}{2 x - 2}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

ステップ 2.1.3

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$2$ を $2 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}}) - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

ステップ 2.1.3.2

$2$ を $- 2 \sqrt[3]{x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}}) + 2 (- \sqrt[3]{x})}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

ステップ 2.1.3.3

$2$ を $2 (x^{\frac{2}{3}}) + 2 (- \sqrt[3]{x})$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

ステップ 2.1.3.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1

$2$ を $3 x^{1} (2 x - 2)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{2 (3 x^{1} (x - 1))}$

ステップ 2.1.3.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{2 (3 x^{1} (x - 1))}$

ステップ 2.1.3.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (x - 1)}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{2}{3}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2.4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2.4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2.5.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.2.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

ステップ 3.1.3.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.1.3.4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x^{1}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.1.3.4.2

指数を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.1.3.4.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.5.1

$1 - 1 \cdot 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 - 1}$

ステップ 3.1.3.5.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1} (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.3.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.3.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.4.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.5.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1)]}$

ステップ 3.3.7

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.12

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + (x - 1) \cdot 1}$

ステップ 3.3.14

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + x - 1}$

ステップ 3.3.15

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.4

$x^{\frac{1}{3}}$ を $\sqrt[3]{x}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.2

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ に $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.7

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1 + 2}{3}}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.11

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.12

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.3.12.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 1}$

ステップ 3.5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 1}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

ステップ 4.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

ステップ 4.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

ステップ 4.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

ステップ 4.6

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{2}{3}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

ステップ 4.7

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

ステップ 4.8

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 4.9

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 4.10

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x^{1}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.4

指数を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.5

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1}}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 \cdot 1 - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - 1)}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.3

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 - 1}$

ステップ 6.3.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{1}$

ステップ 6.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1}$

ステップ 6.5

$\frac{1}{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 6.6

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 6.6.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

ステップ 6.6.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{9}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{9}$

10進法形式：

$0.\overline{1}$

微分積分 例

微分積分例