微分積分例

$y = \sqrt{x} + 8 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[4]{x}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt{x} + 8 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[4]{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.10

$8$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}]$

ステップ 4.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{\frac{1}{4}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

ステップ 4.3

$n = \frac{1}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

ステップ 4.7.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

ステップ 4.9

$\frac{1}{4}$ と $x^{- \frac{3}{4}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

ステップ 4.10

$- 2$ と $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

ステップ 4.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{4}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 2}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 4.12

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 4.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.13.1

$2$ を $4 x^{\frac{3}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

ステップ 4.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

ステップ 4.13.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 4.14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

微分積分 例

微分積分例