微分積分例

$lim_{h \to - 2} \frac{h^{2} - 2^{2}}{2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to - 2} h^{2} - 2^{2}}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to - 2} h^{2} - lim_{h \to - 2} 2^{2}}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{h \to - 2} h)}^{2} - lim_{h \to - 2} 2^{2}}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $- 2$ に近づくと定数である $2^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{h \to - 2} h)}^{2} - 2^{2}}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $- 2$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2^{2}}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 2^{2}}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.2.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + 5 h + 2}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$h$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{h \to - 2} 2 h^{2} + lim_{h \to - 2} 5 h + lim_{h \to - 2} 2}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{h \to - 2} h^{2} + lim_{h \to - 2} 5 h + lim_{h \to - 2} 2}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{2 {(lim_{h \to - 2} h)}^{2} + lim_{h \to - 2} 5 h + lim_{h \to - 2} 2}$

ステップ 1.1.3.4

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 {(lim_{h \to - 2} h)}^{2} + 5 lim_{h \to - 2} h + lim_{h \to - 2} 2}$

ステップ 1.1.3.5

$h$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(lim_{h \to - 2} h)}^{2} + 5 lim_{h \to - 2} h + 2}$

ステップ 1.1.3.6

すべての $h$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$h$ を $- 2$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} + 5 lim_{h \to - 2} h + 2}$

ステップ 1.1.3.6.2

$h$ を $- 2$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} + 5 \cdot - 2 + 2}$

ステップ 1.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{2 \cdot 4 + 5 \cdot - 2 + 2}$

ステップ 1.1.3.7.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{8 + 5 \cdot - 2 + 2}$

ステップ 1.1.3.7.1.3

$5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{0}{8 - 10 + 2}$

ステップ 1.1.3.7.2

$8$ から $10$ を引きます。

$\frac{0}{- 2 + 2}$

ステップ 1.1.3.7.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to - 2} \frac{h^{2} - 2^{2}}{2 h^{2} + 5 h + 2} = lim_{h \to - 2} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 2^{2}]}{\frac{d}{d h} [2 h^{2} + 5 h + 2]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to - 2} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 2^{2}]}{\frac{d}{d h} [2 h^{2} + 5 h + 2]}$

ステップ 1.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$lim_{h \to - 2} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [2 h^{2} + 5 h + 2]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $h^{2} - 1 \cdot 4$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ です。

$lim_{h \to - 2} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [2 h^{2} + 5 h + 2]}$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [2 h^{2} + 5 h + 2]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [2 h^{2} + 5 h + 2]}$

ステップ 1.3.5.2

$- 4$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h + 0}{\frac{d}{d h} [2 h^{2} + 5 h + 2]}$

ステップ 1.3.6

$2 h$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{\frac{d}{d h} [2 h^{2} + 5 h + 2]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $2 h^{2} + 5 h + 2$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [2 h^{2}] + \frac{d}{d h} [5 h] + \frac{d}{d h} [2]$ です。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{\frac{d}{d h} [2 h^{2}] + \frac{d}{d h} [5 h] + \frac{d}{d h} [2]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d h} [2 h^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$2$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $2 h^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ です。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{2 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [5 h] + \frac{d}{d h} [2]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{2 (2 h) + \frac{d}{d h} [5 h] + \frac{d}{d h} [2]}$

ステップ 1.3.8.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{4 h + \frac{d}{d h} [5 h] + \frac{d}{d h} [2]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d h} [5 h]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$5$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $5 h$ の微分係数は $5 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{4 h + 5 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2]}$

ステップ 1.3.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{4 h + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [2]}$

ステップ 1.3.9.3

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{4 h + 5 + \frac{d}{d h} [2]}$

ステップ 1.3.10

$2$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{4 h + 5 + 0}$

ステップ 1.3.11

$4 h + 5$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to - 2} \frac{2 h}{4 h + 5}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{h \to - 2} \frac{h}{4 h + 5}$

ステップ 2.2

$h$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{h \to - 2} h}{lim_{h \to - 2} 4 h + 5}$

ステップ 2.3

$h$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{h \to - 2} h}{lim_{h \to - 2} 4 h + lim_{h \to - 2} 5}$

ステップ 2.4

$4$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{lim_{h \to - 2} h}{4 lim_{h \to - 2} h + lim_{h \to - 2} 5}$

ステップ 2.5

$h$ が $- 2$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$2 \frac{lim_{h \to - 2} h}{4 lim_{h \to - 2} h + 5}$

ステップ 3

すべての $h$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$h$ を $- 2$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$2 \frac{- 2}{4 lim_{h \to - 2} h + 5}$

ステップ 3.2

$h$ を $- 2$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$2 \frac{- 2}{4 \cdot - 2 + 5}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$2 \frac{- 2}{- 8 + 5}$

ステップ 4.1.2

$- 8$ と $5$ をたし算します。

$2 (\frac{- 2}{- 3})$

ステップ 4.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$2 (\frac{2}{3})$

ステップ 4.3

$2 (\frac{2}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4}{3}$

10進法形式：

$1.\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例