微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (2 - \csc^{2} (x)) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 - \csc^{2} (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x$

ステップ 5

$- \cot (x)$ の微分係数が $\csc^{2} (x)$ なので、 $\csc^{2} (x)$ の積分は $- \cot (x)$ です。

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

代入し簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{4}$ で $2 x$ の値を求めます。

$(2 \frac{π}{2}) - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 6.1.2

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{4}$ で $- \cot (x)$ の値を求めます。

$2 \frac{π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

$2$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.2.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.3

$- 2$ と $\frac{π}{4}$ をまとめます。

$π + \frac{- 2 π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.4

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.4.1

$2$ を $- 2 π$ で因数分解します。

$π + \frac{2 (- π)}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$π + \frac{2 (- π)}{2 (2)} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$π + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.4.2.3

式を書き換えます。

$π + \frac{- π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$π - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.6

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.7

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 2 - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.9

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot π - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.1.3.10

$2 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{2} - (- 0 + \cot (\frac{π}{4}))$

ステップ 6.2.2

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π}{2} - (- 0 + 1)$

ステップ 6.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{2} - (0 + 1)$

ステップ 6.2.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 6.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{2} - 1$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{2} - 1$

10進法形式：

$0.57079632 \dots$

微分積分 例

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