微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6}$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{2 x - 6}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{2 x - 6}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $- \sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 6}{x}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 3.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 3.3

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 3.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 3) (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 3) + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.4

$x$ と $- 3$ を並べ替えます。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.8.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.8.3

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.8.4

$0$ から $9$ を引きます。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.2.9

首位係数が正である偶数次数の多項式の負の無限大における極限は無限大です。

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.3

首位係数が正である偶数次数の多項式の負の無限大における極限は無限大です。

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = x + 3$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.3

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.7

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.8

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.10

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.12

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.13

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.14

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.15

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.3.16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.4

約分します。

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ステップ 4.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.4.1.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 4.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

ステップ 5.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

ステップ 5.3

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

ステップ 5.4

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 \cdot 0}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 - 6 \cdot 0}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 6$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

ステップ 7.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

ステップ 7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{2}$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{2}$

10進法形式：

$- 0.5$

微分積分 例

微分積分例