微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 12}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

ステップ 1.3

関数 $\ln (x^{3})$ が $\infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 6$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

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ステップ 1.3.1

定数の倍数 $- 6$ を削除した極限を考えます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{3})}$

ステップ 1.3.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.3

関数 $\ln (x^{3})$ が $\infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 6$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} + 3 x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3.5

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3.6

$2 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

ステップ 3.7

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 \ln (x^{3})$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}$

ステップ 3.8

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

ステップ 3.8.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

ステップ 3.8.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

ステップ 3.9

$\frac{1}{x^{3}}$ と $- 6$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.11

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} (3 x^{2})}$

ステップ 3.12

$3$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 3 \frac{6}{x^{3}} x^{2}}$

ステップ 3.13

$- 3$ と $\frac{6}{x^{3}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 3 \cdot 6}{x^{3}} x^{2}}$

ステップ 3.14

$- 3$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x^{3}} x^{2}}$

ステップ 3.15

$\frac{- 18}{x^{3}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18 x^{2}}{x^{3}}}$

ステップ 3.16

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.16.1

$x^{2}$ を $- 18 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{3}}}$

ステップ 3.16.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.16.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

ステップ 3.16.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

ステップ 3.16.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x}}$

ステップ 3.17

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{18}{x}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} (2 x + 3) (- \frac{x}{18})$

ステップ 5

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} 2 x (- \frac{x}{18}) + 3 (- \frac{x}{18})$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} 2 \cdot - 1 x \frac{x}{18} + 3 (- \frac{x}{18})$

ステップ 6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} - 2 x \frac{x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

ステップ 7

$- 2 x$ と $\frac{x}{18}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x \cdot x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

ステップ 8

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x)}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

ステップ 9

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{1 + 1}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

ステップ 11.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} - 3 \frac{x}{18}$

ステップ 11.3

$- 3$ と $\frac{x}{18}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + \frac{- 3 x}{18}$

ステップ 12

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

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