微分積分例

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

ステップ 1

平方を完成させます。

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ステップ 1.1

$x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + x$

ステップ 1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.4.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

ステップ 1.5.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

ステップ 1.5.2.1.4

$- - \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

ステップ 1.5.2.1.4.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 + \frac{1}{4}$

ステップ 1.5.2.2

$0$ と $\frac{1}{4}$ をたし算します。

$e = \frac{1}{4}$

ステップ 1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ に代入します。

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

ステップ 2

$u_{1} = x - \frac{1}{2}$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = x - \frac{1}{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x - \frac{1}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x - \frac{1}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 2.1.4

$- \frac{1}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u_{1} = x - \frac{1}{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3

$0$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

$u_{1} = x - \frac{1}{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

ステップ 2.5.3

$2$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

ステップ 3

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

ステップ 3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5

$- {u_{1}}^{2}$ と ${(\frac{1}{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{2}$ であり、 $b = u_{1}$ です。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

ステップ 7

$u_{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

$u_{1}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

ステップ 8.2

公分母の分子をまとめます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

ステップ 9

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

ステップ 10

$- u_{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

ステップ 11

$- u_{1}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

ステップ 12

公分母の分子をまとめます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

ステップ 13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

ステップ 14

$\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ に $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ をかけます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

ステップ 15

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

ステップ 16

$\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ に書き換えます。

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ステップ 16.1

$(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

ステップ 16.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

ステップ 16.3

分数 $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

ステップ 17

項を簡約します。

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ステップ 17.1

累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

ステップ 17.2

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ をまとめます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

ステップ 18

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ を展開します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

ステップ 18.3

分配則を当てはめます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

ステップ 19

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 19.1

各項を簡約します。

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ステップ 19.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

ステップ 19.1.2

$- 2 u_{1}$ に $1$ をかけます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

ステップ 19.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

ステップ 19.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 19.1.5

指数を足して $u_{1}$ に $u_{1}$ を掛けます。

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ステップ 19.1.5.1

$u_{1}$ を移動させます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

ステップ 19.1.5.2

$u_{1}$ に $u_{1}$ をかけます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

ステップ 19.1.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

ステップ 19.2

$- 2 u_{1}$ と $2 u_{1}$ をたし算します。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

ステップ 19.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

ステップ 20

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 21

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ とします。次に $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\cos (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22

項を簡約します。

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ステップ 22.1

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 22.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 22.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.2

積の法則を $\frac{\sin (t)}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 22.1.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.2

簡約します。

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ステップ 22.2.1

$\cos (t)$ と $\frac{\cos (t)}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

ステップ 22.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

ステップ 22.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

ステップ 22.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 23

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

ステップ 24

簡約します。

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ステップ 24.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

ステップ 24.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

ステップ 25

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 26

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 27

簡約します。

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ステップ 27.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 27.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 28

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 29

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 30

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 30.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 30.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 30.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 30.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 30.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 30.2

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

ステップ 30.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 30.3.1

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ステップ 30.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ステップ 30.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = - π$

ステップ 30.4

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 30.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 30.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 30.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

ステップ 30.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 31

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 32

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 33

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

ステップ 34

代入し簡約します。

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ステップ 34.1

$\frac{π}{2}$ および $- \frac{π}{2}$ で $t$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

ステップ 34.2

$π$ および $- π$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

ステップ 34.3

簡約します。

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ステップ 34.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

ステップ 34.3.2

$π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

ステップ 34.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 34.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

ステップ 34.3.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

ステップ 35

簡約します。

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ステップ 35.1

各項を簡約します。

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ステップ 35.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 35.1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

ステップ 35.1.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

ステップ 35.1.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

ステップ 35.1.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

ステップ 35.1.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

ステップ 35.1.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

ステップ 35.1.3

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (π + 0)$

ステップ 35.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} π$

ステップ 35.3

$\frac{1}{8}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{π}{8}$

ステップ 36

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{8}$

10進法形式：

$0.39269908 \dots$

ステップ 37

微分積分 例

微分積分例