微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 1 - {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x - 1)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - {(0 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - {(0 - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{1 - {(- 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.3.1.3.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.3.3.1.3.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - {(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - ((x - 1) (x - 1))]}$

ステップ 1.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.3.4.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))]}$

ステップ 1.3.4.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]}$

ステップ 1.3.4.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

ステップ 1.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

ステップ 1.3.5.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

ステップ 1.3.5.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

ステップ 1.3.5.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]}$

ステップ 1.3.5.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - x + 1)]}$

ステップ 1.3.5.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - 2 x + 1)]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $1 - (x^{2} - 2 x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]}$

ステップ 1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x^{2} - 2 x + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

ステップ 1.3.8.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 1.3.8.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 1.3.8.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 1.3.8.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 1.3.8.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \cdot 1 + 0)}$

ステップ 1.3.8.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 + 0)}$

ステップ 1.3.8.8

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2)}$

ステップ 1.3.9

簡約します。

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ステップ 1.3.9.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x) - - 2}$

ステップ 1.3.9.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.9.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 2 x - - 2}$

ステップ 1.3.9.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 2 x + 2}$

ステップ 1.3.9.2.3

$0$ から $- (- 2 x + 2)$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x + 2}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 2}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 2}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + 2}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2 \cdot 0 + 2}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{0 + 2}$

ステップ 4.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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