微分積分例

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $\frac{1}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $\frac{1}{3}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $\frac{1}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $\frac{1}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 9 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{9 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

ステップ 1.1.3.1.4

$x$ が $\frac{1}{3}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $\frac{1}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{9 {(\frac{1}{3})}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\frac{0}{9 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{9 \frac{1}{3^{2}} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{9 (\frac{1}{9}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{0}{9 (\frac{1}{9}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x - 1}{9 x^{2} - 1} = lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 + 0}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $9 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3}{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3}{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.3

$2$ に $9$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3}{18 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3}{18 x + 0}$

ステップ 1.3.9

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3}{18 x}$

ステップ 1.4

$3$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 (1)}{18 x}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$3$ を $18 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 (1)}{3 (6 x)}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 \cdot 1}{3 (6 x)}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{1}{6 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{1}{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $\frac{1}{3}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} x}$

ステップ 2.3

$x$ が $\frac{1}{3}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{3}} x}$

ステップ 3

$x$ を $\frac{1}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{6} (1 \cdot 3)$

ステップ 4.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 (2)} (1 \cdot 3)$

ステップ 4.2.2

$3$ を $1 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 (2)} (3 \cdot 1)$

ステップ 4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 \cdot 2} (3 \cdot 1)$

ステップ 4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例