微分積分例

$f (x) = {\begin{cases} c x^{2} + 4 x & x < 5 \\ x^{3} - c x & x \geq 5 \end{cases}$

ステップ 1

$x$ が $5$ に左から近づくときの $c x^{2} + 4 x$ 極限を求めます。

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ステップ 1.1

両側極限を左側極限に変えます。

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + 4 x$

ステップ 1.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

ステップ 1.3

$c$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$c lim_{x \to 5^{-}} x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

ステップ 1.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

ステップ 1.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

ステップ 1.6

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.6.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$c \cdot 5^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

ステップ 1.6.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$c \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$5$ を $2$ 乗します。

$c \cdot 25 + 4 \cdot 5$

ステップ 1.7.2

$25$ を $c$ の左に移動させます。

$25 \cdot c + 4 \cdot 5$

ステップ 1.7.3

$4$ に $5$ をかけます。

$25 c + 20$

ステップ 2

$5$ における $x^{3} - c x$ を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

${(5)}^{3} - c \cdot 5$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - c \cdot 5$

ステップ 2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$125 - 5 c$

ステップ 3

$x$ が $5$ に左から近づくときの $c x^{2} + 4 x$ の極限が、 $x = 5$ における関数の値に等しくないので、関数は $x = 5$ において連続ではありません。

連続ではない

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例