微分積分例

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y'} y = \frac{d}{d y'} \cdot \frac{5 - {y'}^{2}}{5 + {y'}^{2}}$

ステップ 2

$y'$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (y') = 5 - {y'}^{2}$ および $g (y') = 5 + {y'}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d v} [\frac{f (y')}{g (y')}]$ は $\frac{g (y') \frac{d}{d v} [f (y')] - f (y') \frac{d}{d v} [g (y')]}{{g (y')}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 - {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $5 - {y'}^{2}$ の $y'$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ です。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$5$ は $y'$ について定数なので、 $y'$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ をたし算します。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- 1$ は $y'$ に対して定数なので、 $y'$ に対する $- {y'}^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ です。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ は $n {y'}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- (2 y')) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $5 + {y'}^{2}$ の $y'$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ です。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$5$ は $y'$ について定数なので、 $y'$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$0$ と $\frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ をたし算します。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ は $n {y'}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (2 y')}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') + (- 2 \cdot 5 - 2 (- {y'}^{2})) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 10 y' + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{2} y' - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

指数を足して ${y'}^{2}$ に $y'$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.3.1

$y'$ を移動させます。

$\frac{- 10 y' - 2 (y' {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3.2

$y'$ に ${y'}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.3.2.1

$y'$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 10 y' - 2 ({y'}^{1} {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{1 + 2} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.4

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.5

指数を足して ${y'}^{2}$ に $y'$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.5.1

$y'$ を移動させます。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- (y' {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.5.2

$y'$ に ${y'}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.5.2.1

$y'$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- ({y'}^{1} {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{1 + 2})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{3})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$- 2 {y'}^{3}$ と $2 {y'}^{3}$ をたし算します。

$\frac{- 10 y' - 10 y' + 0}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2.2

$- 10 y' - 10 y'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 10 y' - 10 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.3

$- 10 y'$ から $10 y'$ を引きます。

$\frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

ステップ 5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

${(5 + {y'}^{2})}^{2}$

ステップ 5.2

$y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ の各項に ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ の各項に ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ を掛けます。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

ステップ 5.2.2.1.3

式を書き換えます。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - 20 y'$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

方程式の両辺に $20 y'$ を足します。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ を $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ に書き換えます。

$y' ((5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y' (5 (5 + {y'}^{2}) + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.3.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.3.1.2

$5$ を ${y'}^{2}$ の左に移動させます。

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 \cdot {y'}^{2} + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.3.1.3

指数を足して ${y'}^{2}$ に ${y'}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.3.1.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2 + 2}) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.3.1.3.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.3.2

$5 {y'}^{2}$ と $5 {y'}^{2}$ をたし算します。

$y' (25 + 10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.4

分配則を当てはめます。

$y' \cdot 25 + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.5.1

$25$ を $y'$ の左に移動させます。

$25 \cdot y' + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + y' {y'}^{4} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.5.3

指数を足して $y'$ に ${y'}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.5.3.1

$y'$ に ${y'}^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.5.3.1.1

$y'$ を $1$ 乗します。

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1} {y'}^{4} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.5.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1 + 4} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.5.3.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.6

指数を足して $y'$ に ${y'}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.6.1

${y'}^{2}$ を移動させます。

$25 y' + 10 ({y'}^{2} y') + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.6.2

${y'}^{2}$ に $y'$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.6.2.1

$y'$ を $1$ 乗します。

$25 y' + 10 ({y'}^{2} {y'}^{1}) + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$25 y' + 10 {y'}^{2 + 1} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.2.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$25 y' + 10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

ステップ 5.3.1.3

$25 y'$ と $20 y'$ をたし算します。

$10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$y'$ を $10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$y'$ を $10 {y'}^{3}$ で因数分解します。

$y' (10 {y'}^{2}) + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を ${y'}^{5}$ で因数分解します。

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 45 y' = 0$

ステップ 5.3.2.1.3

$y'$ を $45 y'$ で因数分解します。

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

ステップ 5.3.2.1.4

$y'$ を $y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4})$ で因数分解します。

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

ステップ 5.3.2.1.5

$y'$ を $y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45$ で因数分解します。

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4} + 45) = 0$

ステップ 5.3.2.2

項を並べ替えます。

$y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$

ステップ 5.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y' = 0$

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

ステップ 5.3.4

$y'$ が $0$ に等しいとします。

$y' = 0$

ステップ 5.3.5

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ を $0$ に等しくし、 $y'$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ が $0$ に等しいとします。

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

ステップ 5.3.5.2

$y'$ について ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1

$u = {y'}^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} + 10 u + 45 = 0$

$u = {y'}^{2}$

ステップ 5.3.5.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3.5.2.3

$a = 1$ 、 $b = 10$ 、および $c = 45$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 45)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.4.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 45$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $45$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.3

$100$ から $180$ を引きます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.4

$- 80$ を $- 1 (80)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (80)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.7

$80$ を $4^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.4.1.7.1

$16$ を $80$ で因数分解します。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

ステップ 5.3.5.2.4.3

$\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.5.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 45$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $45$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.3

$100$ から $180$ を引きます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.4

$- 80$ を $- 1 (80)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (80)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.7

$80$ を $4^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.5.1.7.1

$16$ を $80$ で因数分解します。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

ステップ 5.3.5.2.5.3

$\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.3.5.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.6.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 45$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.2.2

$- 4$ に $45$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.3

$100$ から $180$ を引きます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.4

$- 80$ を $- 1 (80)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (80)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.7

$80$ を $4^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.5.2.6.1.7.1

$16$ を $80$ で因数分解します。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.5.2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

ステップ 5.3.5.2.6.3

$\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}, - 5 - 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.8

$u = {y'}^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.9

$y'$ について第1方程式を解きます。

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.10

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.5.2.10.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y' = \pm \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.5.2.10.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.3.5.2.10.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.5.2.10.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y' = - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.5.2.10.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.5.2.11

$y'$ について二次方程式を解きます。

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.12

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.5.2.12.1

括弧を削除します。

${y'}^{2} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

ステップ 5.3.5.2.12.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y' = \pm \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.5.2.12.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.12.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.5.2.12.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y' = - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.5.2.12.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.5.2.13

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ の解は $y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$ です。

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.6

最終解は $y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$ を真にするすべての値です。

$y' = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d v}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d v} = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

微分積分 例

微分積分例