微分積分例

$y = x^{2} (e^{x} - 1)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (e^{x} - 1))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (e^{x} + 0) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + (e^{x} - 1) (2 x)$

ステップ 3.4.4

$2$ を $e^{x} - 1$ の左に移動させます。

$x^{2} e^{x} + 2 \cdot (e^{x} - 1) x$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} + (2 e^{x} + 2 \cdot - 1) x$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 3.5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x - 2 x$

ステップ 3.5.4

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 x$

ステップ 3.5.5

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 x$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x$

微分積分 例

微分積分例