微分積分例

$y = {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})$

ステップ 2

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})$ を展開します。

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (5 x))$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (5 x))$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (5 x)$ とします。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.3.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (5 x)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ を $\csc (5 x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.5

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.5.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.6

微分します。

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ステップ 3.2.6.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.6.3

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.6.3.2

$5$ を $\csc (5 x) \cos (5 x)$ の左に移動させます。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.7

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{1}{x}$

ステップ 3.2.8

$\ln (\sin (5 x))$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 3.2.9

簡約します。

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ステップ 3.2.9.1

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (5 x) \csc (5 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 3.2.9.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.9.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (5 x)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (5 x) \frac{1}{\sin (5 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 3.2.9.2.2

$5 \cos (5 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.9.2.2.1

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{\sin (5 x)} \cos (5 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 3.2.9.2.2.2

$\frac{5}{\sin (5 x)}$ と $\cos (5 x)$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 3.2.9.2.3

$\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \cos (5 x) \ln (x)}{\sin (5 x)} + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 3.2.9.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.9.3.1

分数を分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 3.2.9.3.2

$\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ を $\cot (5 x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \ln (x)}{1} \cot (5 x) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 3.2.9.3.3

$5 \ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{y'}{y} = 5 \ln (x) \cot (5 x) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (5 \ln (x) \cot (5 x) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (x)$ を簡約します。

$y' = (\ln (x^{5}) \cot (5 x) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 5.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (5 x)$ を書き換えます。

$y' = (\ln (x^{5}) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 5.1.3

$\ln (x^{5})$ と $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ をまとめます。

$y' = (\frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x)}{\sin (5 x)} + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x)}{\sin (5 x)} {\sin (5 x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x} {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 5.3

$\frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ と ${\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ をまとめます。

$y' = \frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{\sin (5 x)} + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x} {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 5.4

$\frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$ と ${\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ をまとめます。

$y' = \frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{\sin (5 x)} + \frac{\ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.5

${\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ と $\sin (5 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

$\sin (5 x)$ を $\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ で因数分解します。

$y' = \frac{\sin (5 x) (\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (5 x)} + \frac{\ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1

$1$ を掛けます。

$y' = \frac{\sin (5 x) (\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (5 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.5.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\sin (5 x) (\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (5 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.5.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.5.2.4

$\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1}$ を $1$ で割ります。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.6

$\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = \frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.7

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.8

$\frac{\ln (x^{5}) \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (5 x)) {\sin (5 x)}^{\ln (x)}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{x {\sin (5 x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x^{5}) \cos (5 x) + {\sin (5 x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (5 x))}{x}$

微分積分 例

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