微分積分例

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{5}$

ステップ 1

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = 1 + x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + a$

ステップ 1.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

ステップ 1.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

ステップ 4

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1 + a$ および $1$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

ステップ 4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

ステップ 5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0 + a}{1 + a}$

ステップ 5.4.2

$0$ と $a$ をたし算します。

$\frac{a}{1 + a}$

微分積分 例

微分積分例