微分積分例

$\frac{1}{x^{4}} - \frac{3}{x^{2}} + x^{3}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{x^{4}} - \frac{3}{x^{2}} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{- 8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.6

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- 4 (x^{3} x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 x^{3 - 8} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.6.3

$3$ から $8$ を引きます。

$- 4 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{x^{2}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$- 4 x^{- 5} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 4 x^{- 5} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$- 4 x^{- 5} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$- 4 x^{- 5} - 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.10

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$- 4 x^{- 5} + 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{- 5} + 6 x^{- 3} + 3 x^{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{x^{5}} + 6 x^{- 3} + 3 x^{2}$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{x^{5}} + 6 \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{2}$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$- 4$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{x^{5}} + 6 \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x^{5}} + 6 \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$6$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{4}{x^{5}} + \frac{6}{x^{3}} + 3 x^{2}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{5}}$

微分積分 例

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