微分積分例

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

ステップ 1

$t$ が $- \infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

ステップ 2

$u = 3 - 4 x$ とします。次に $d u = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 3 - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 - 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $3 - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 2.1.4

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 2.2

$u = 3 - 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 - 4 t$

ステップ 2.3

$u = 3 - 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$- 4$ に $0$ をかけます。

$u_{upper} = 3 + 0$

ステップ 2.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

ステップ 3.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

ステップ 3.3

$4$ を $u$ の左に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

ステップ 7

$\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

ステップ 8

$3$ および $3 - 4 t$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

ステップ 9

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

ステップ 10

関数 $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ が $- \infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 1$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 10.1

定数の倍数 $- 1$ を削除した極限を考えます。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

ステップ 10.2

$t$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

ステップ 10.3

$t$ がいずれの側から $- \infty$ に近づくとき、 $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

ステップ 10.4

$t$ が $- \infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{- \infty}{4}$

ステップ 10.5

無限大割る有限または0ではない数は無限大です。

$- \infty$

ステップ 10.6

関数 $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ が $- \infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 1$ 倍 $\infty$ に近づきます。

$\infty$

微分積分 例

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