微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (5 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

ステップ 1.3

$x$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.4

$5$ と $\frac{1}{5 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.5

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.5.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.7

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

ステップ 3.8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x}$ を ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.9

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.10

積の法則を $5 (x)$ に当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.11

$5^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.12

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

ステップ 3.13

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

ステップ 3.14

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

ステップ 3.15

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

ステップ 3.16

分子を簡約します。

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ステップ 3.16.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

ステップ 3.16.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

ステップ 3.17

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

ステップ 3.18

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 3.19

$5^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 3.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

分数指数を根に変換します。

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ステップ 5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{5^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

$5^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{5}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

ステップ 6

$\frac{1}{x}$ に $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{5}}$

ステップ 7

約分します。

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ステップ 7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{5}}$

ステップ 7.2

$x$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

ステップ 7.3

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$x$ を $x \sqrt{5}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x (\sqrt{5})}$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

ステップ 7.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 7.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{5} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{\sqrt{5}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 0$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cdot 0$

ステップ 10.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot 0$

ステップ 10.2.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot 0$

ステップ 10.2.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot 0$

ステップ 10.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot 0$

ステップ 10.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot 0$

ステップ 10.2.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 10.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

ステップ 10.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

ステップ 10.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

ステップ 10.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

ステップ 10.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot 0$

ステップ 10.2.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 0$

ステップ 10.3

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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