微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

ステップ 1

$- 4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

ステップ 2

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

ステップ 3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

ステップ 4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

ステップ 5

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

ステップ 6

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

ステップ 7

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

ステップ 8

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

ステップ 9

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

ステップ 10

すべての $x$ に $\frac{π}{3}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

ステップ 10.2

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

ステップ 11.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

ステップ 11.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

ステップ 11.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

ステップ 11.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

ステップ 11.2.3

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

ステップ 11.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

ステップ 11.2.5

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

ステップ 11.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.6.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 11.2.6.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 11.2.6.3

共通因数を約分します。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 11.2.6.4

式を書き換えます。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

ステップ 11.2.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

ステップ 11.2.8

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

ステップ 11.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

ステップ 11.4

$\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ に $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

ステップ 11.5

$\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ に $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

ステップ 11.6

FOIL法を使って分母を展開します。

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

ステップ 11.7

簡約します。

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

ステップ 11.8

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ を掛けます。

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ステップ 11.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ をかけます。

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

ステップ 11.8.2

$2$ に $6$ をかけます。

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

ステップ 11.9

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.9.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

ステップ 11.9.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

ステップ 11.9.3

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

ステップ 11.9.4

式を書き換えます。

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$- 0.42264973 \dots$

微分積分 例

微分積分例