微分積分例

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

ステップ 1

$f (x) = 5 x - 3$ および $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x - \frac{3}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ です。

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2.5

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{x}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2.6

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2.8

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 2.9

総和則では、 $5 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.10

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.12

$5$ に $1$ をかけます。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.13

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

ステップ 2.14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

ステップ 2.14.2

$5$ を $4 x - \frac{3}{x}$ の左に移動させます。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

ステップ 3.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

ステップ 3.3.2

$4$ に $5$ をかけます。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

ステップ 3.3.4

$- 5$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

ステップ 3.3.5

$- 5$ に $3$ をかけます。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

ステップ 3.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

ステップ 3.3.7

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

ステップ 3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

ステップ 3.3.9

$20 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

ステップ 3.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

ステップ 3.3.11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

ステップ 3.3.12

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

ステップ 3.3.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

ステップ 3.3.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

ステップ 3.5.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

ステップ 3.5.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

ステップ 3.5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

ステップ 3.5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

ステップ 3.5.4

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

ステップ 3.5.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

ステップ 3.5.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.6

$5 \frac{3}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.6.1

$5$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.6.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.7

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.7.2

式を書き換えます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.8

$\frac{3}{x} \cdot - 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.8.1

$\frac{3}{x}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.8.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

ステップ 3.5.5.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

ステップ 3.5.6

$20 x^{2}$ と $20 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

ステップ 3.5.7

$15$ から $15$ を引きます。

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

ステップ 3.5.8

$40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.9

$40 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.11

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.11.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.11.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.11.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.11.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.12

$- 12 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.13

$- 12 x$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.15.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.15.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.15.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.5.15.2

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

ステップ 3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 3.7

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

ステップ 3.7.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

ステップ 3.7.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

ステップ 3.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

ステップ 3.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例