微分積分例

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

ステップ 1

総和を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二項定理を利用します。

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の法則を $3 i$ に当てはめます。

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.3

積の法則を $3 i$ に当てはめます。

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.4

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$3^{2}$ を移動させます。

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.4.2

$3^{2}$ に $3$ をかけます。

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ステップ 1.2.4.2.1

$3$ を $1$ 乗します。

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.5

$3$ を $3$ 乗します。

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.6

$- 2$ に $27$ をかけます。

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.7

$3$ に $3$ をかけます。

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.8

$- 2$ を $2$ 乗します。

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.9

$4$ に $9$ をかけます。

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.2.10

$- 2$ を $3$ 乗します。

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

ステップ 1.3

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

ステップ 3

$27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $3$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$7$ と $1$ をたし算します。

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.3

$8$ を $2$ 乗します。

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$49$ に $64$ をかけます。

$27 (\frac{3136}{4})$

ステップ 3.3.2.2

$3136$ を $4$ で割ります。

$27 \cdot 784$

ステップ 3.3.2.3

$27$ に $784$ をかけます。

$21168$

ステップ 4

$54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$7$ と $1$ をたし算します。

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$7$ に $8$ をかけます。

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.3

$14$ と $1$ をたし算します。

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

ステップ 4.3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$56$ に $15$ をかけます。

$- 54 (\frac{840}{6})$

ステップ 4.3.2.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1

$6$ を $- 54$ で因数分解します。

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

ステップ 4.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

ステップ 4.3.2.2.3

式を書き換えます。

$- 9 \cdot 840$

ステップ 4.3.2.3

$- 9$ に $840$ をかけます。

$- 7560$

ステップ 5

$36 \sum_{i = 1}^{7} i$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 5.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$7$ と $1$ をたし算します。

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

ステップ 5.3.1.2

$7$ に $8$ をかけます。

$36 (\frac{56}{2})$

ステップ 5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$2 (18) \frac{56}{2}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

ステップ 5.3.2.3

式を書き換えます。

$18 \cdot 56$

ステップ 5.3.3

$18$ に $56$ をかけます。

$1008$

ステップ 6

$\sum_{i = 1}^{7} - 8$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 6.2

値を公式に代入します。

$(- 8) (7)$

ステップ 6.3

$- 8$ に $7$ をかけます。

$- 56$

ステップ 7

合計した結果を足します。

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$21168$ から $7560$ を引きます。

$13608 + 1008 - 56$

ステップ 8.2

$13608$ と $1008$ をたし算します。

$14616 - 56$

ステップ 8.3

$14616$ から $56$ を引きます。

$14560$

微分積分 例

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