微分積分例

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

ステップ 1

底の変換の公式を利用して $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ を書き換えます。

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ステップ 1.1

$a$ と $b$ が0より大きく、1に等しくなく、かつ $x$ が0より大きい場合、底の変換の法則を使用することができます。

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

ステップ 1.2

$b = e$ を使用して、基数変更の公式の変数の値に代入します。

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

ステップ 2

$\frac{1}{\ln (a)}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ の微分係数は $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ です。

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x^{3} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{3} + 7$ とします。

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{3} + 7$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ に $\frac{1}{\ln (a)}$ をかけます。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

ステップ 4.2

総和則では、 $2 x^{3} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 4.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 4.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 4.5

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 4.6

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

ステップ 4.7.2

$6$ と $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ をまとめます。

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

ステップ 4.7.3

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

ステップ 5.2

$\ln (a)$ を $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$\ln (a)$ を $2 x^{3} \ln (a)$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

ステップ 5.2.2

$\ln (a)$ を $7 \ln (a)$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

ステップ 5.2.3

$\ln (a)$ を $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$

微分積分 例

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