微分積分例

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ です。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

ステップ 2.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

ステップ 2.2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

ステップ 2.2.6

公分母の分子をまとめます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

ステップ 2.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

ステップ 2.2.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

ステップ 2.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

ステップ 2.2.9

$\frac{1}{3}$ と $y^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

ステップ 2.2.10

$\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $y'$ をまとめます。

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

ステップ 2.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.12

$3$ と $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.13

共通因数を約分します。

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.14

式を書き換えます。

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

ステップ 5.2

$y'$ を $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

ステップ 5.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

ステップ 5.4

$y^{\frac{2}{3}}$ を ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ に書き換えます。

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

ステップ 5.5

$\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ を ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ に書き換えます。

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

ステップ 5.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

ステップ 5.7

因数分解。

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ステップ 5.7.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ であり、 $b = 1$ です。

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

ステップ 5.7.2

不要な括弧を削除します。

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

ステップ 5.8

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ の各項を $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.8.1

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ の各項を $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ で割ります。

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

ステップ 5.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.8.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.8.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

ステップ 5.8.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

ステップ 5.8.2.4

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

ステップ 5.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.8.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.8.3.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

ステップ 5.8.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

ステップ 5.8.3.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 5.8.3.1.4

$- 1$ と $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 5.8.3.1.5

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 5.8.3.2

$\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 5.8.3.3

指数を足して $y^{\frac{1}{3}}$ に $y^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 5.8.3.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

ステップ 5.8.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

ステップ 5.8.3.3.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

ステップ 5.8.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

微分積分 例

微分積分例