微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.2

$x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.2.1

$x \cdot 1$ と $- 1 x$ について因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + 1 x - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.2.2

$1 x$ から $1 x$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) + 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3

$x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2})$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x^{1}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{2 + 1} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1}$

ステップ 1.4

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} - x^{2} - 1}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 3.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{{(0 + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 5.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 5.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 5.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(0 - 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

ステップ 8.1.2

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(- 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

ステップ 8.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 8}{2 - 0 - 0}$

ステップ 8.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 8}{2 + 0 - 0}$

ステップ 8.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 8}{2 + 0 + 0}$

ステップ 8.2.3

$2 + 0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 8}{2 + 0}$

ステップ 8.2.4

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 8}{2}$

ステップ 8.3

$- 8$ を $2$ で割ります。

$- 4$

微分積分 例

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