微分積分例

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

ステップ 1

$y = f (θ)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (θ))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

ステップ 2

$\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ を $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ に書き換えます。

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.2

総和則では、 $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$f (θ) = \ln (θ)$ および $g (θ) = \sec (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (θ)$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (θ)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.3.2

$θ$ に関する $\sec (θ)$ の微分係数は $\sec (θ) \tan (θ)$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.3.3

正弦と余弦に関して $\sec (θ)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (θ)}$ で割ります。

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.3.5

$\cos (θ)$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

ステップ 3.2.4

$\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.4.1

$f (θ) = \ln (θ)$ および $g (θ) = \tan (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (θ)$ とします。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

ステップ 3.2.4.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

ステップ 3.2.4.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (θ)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

ステップ 3.2.4.2

$θ$ に関する $\tan (θ)$ の微分係数は $\sec^{2} (θ)$ です。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

ステップ 3.2.4.3

正弦と余弦に関して $\tan (θ)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

ステップ 3.2.4.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ で割ります。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

ステップ 3.2.4.5

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を $\cot (θ)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

ステップ 3.2.5

簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.1.1

$\cos (θ)$ と $\sec (θ)$ を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2.1.2

正弦と余弦に関して $\cos (θ) \sec (θ)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2.2

$\tan (θ)$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2.3

正弦と余弦に関して $\tan (θ)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2.4

正弦と余弦に関して $\sec (θ)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2.5

積の法則を $\frac{1}{\cos (θ)}$ に当てはめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

ステップ 3.2.5.2.7

正弦と余弦に関して $\cot (θ)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

ステップ 3.2.5.2.8

まとめる。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

ステップ 3.2.5.2.9

$\cos (θ)$ と $\cos^{2} (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.9.1

$\cos (θ)$ を $1 \cos (θ)$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

ステップ 3.2.5.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.9.2.1

$\cos (θ)$ を $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

ステップ 3.2.5.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

ステップ 3.2.5.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

ステップ 3.2.5.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.5.3.1

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ を $\tan (θ)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

ステップ 3.2.5.3.2

分数を分解します。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

ステップ 3.2.5.3.3

$\frac{1}{\cos (θ)}$ を $\sec (θ)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

ステップ 3.2.5.3.4

$\frac{1}{\sin (θ)}$ を $\csc (θ)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

ステップ 5.2

$\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

$\tan (θ)$ を $1$ 乗します。

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

ステップ 5.2.2

$\tan (θ)$ を $1$ 乗します。

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

ステップ 5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

ステップ 5.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

ステップ 5.3

$\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$\sec (θ)$ を $1$ 乗します。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

ステップ 5.3.2

$\sec (θ)$ を $1$ 乗します。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

ステップ 5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

ステップ 5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

微分積分 例

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