微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

ステップ 1

$\frac{2}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 2.1.2

$x$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 2.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x}$ を ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

積の法則を $5 (x)$ に当てはめます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$5^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.13

$5^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.5

分数指数を根に変換します。

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ステップ 2.5.1

$5^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{5}$ に書き換えます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

ステップ 2.6

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

ステップ 3

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

ステップ 5.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

ステップ 5.2

$\frac{1}{5}$ と $\sqrt{5}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

ステップ 5.3

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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