微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$t$ および $1$ で $2 x^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

ステップ 4.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

ステップ 5.2

関数 $t^{\frac{1}{2}}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $2$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 5.2.1

定数の倍数 $2$ を削除した極限を考えます。

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

ステップ 5.2.2

$t^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{t}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

ステップ 5.2.3

$t$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

ステップ 5.3

極限を求めます。

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ステップ 5.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\infty - 1 \cdot 2$

ステップ 5.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\infty - 2$

ステップ 5.3.2.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

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