微分積分例

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.3

${(1 + x^{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 5.2

$1 + x^{2}$ を ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$1 + x^{2}$ を ${(1 + x^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 5.2.2

$1 + x^{2}$ を $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 5.2.3

$1 + x^{2}$ を $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$1 + x^{2}$ を ${(1 + x^{2})}^{4}$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 7

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 9

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 11

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 13

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 15

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 16

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 17

$- 2$ と $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

ステップ 18

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例