微分積分例

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x) + \cos (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x) + \cos (x)$ で置き換えます。

$2 (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

ステップ 2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.2

$2 \sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (2 x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.3

$2 \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.3.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 5.3.1.4

$2 \cos (x)$ と $- \sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (x) (2 \cos (x))$

ステップ 5.3.1.5

括弧を付けます。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (\sin (x) (2 \cos (x)))$

ステップ 5.3.1.6

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

ステップ 5.3.1.7

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

ステップ 5.3.2

$\sin (2 x)$ から $\sin (2 x)$ を引きます。

$0 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 5.3.3

$0$ から $2 \sin^{2} (x)$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

微分積分 例

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