微分積分例

$\cot (y) = x - y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cot (u)$ の微分係数は $- \csc^{2} (u)$ です。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \csc^{2} (y) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- \csc^{2} (y) y'$ の因数を並べ替えます。

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

ステップ 5.2

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $y'$ を足します。

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

ステップ 5.2.2

$- y' \csc^{2} (y)$ と $y'$ を並べ替えます。

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $1 y'$ に書き換えます。

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

ステップ 5.2.4

$- y'$ を $1 y'$ で因数分解します。

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

ステップ 5.2.5

$- y'$ を $- y' \csc^{2} (y)$ で因数分解します。

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

ステップ 5.2.6

$- y'$ を $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ で因数分解します。

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

ステップ 5.2.7

項を並べ替えます。

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

ステップ 5.2.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

ステップ 5.3

$- y' \cot^{2} (y) = 1$ の各項を $- \cot^{2} (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- y' \cot^{2} (y) = 1$ の各項を $- \cot^{2} (y)$ で割ります。

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.2.2

$\cot^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ を ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ に書き換えます。

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

ステップ 5.3.3.4

正弦と余弦に関して $\cot (y)$ を書き換えます。

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

ステップ 5.3.3.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ で割ります。

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

ステップ 5.3.3.6

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ を $\tan (y)$ に変換します。

$y' = - \tan^{2} (y)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

微分積分 例

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