微分積分例

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

関数が $[1, 2]$ で連続か求めるために、 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{1}{4 x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 x = 0$

ステップ 1.1.2

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 1.2

$f (x)$ は $[1, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ が微分可能か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4 x}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.1.1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

ステップ 2.1.1.3.4

$\frac{1}{4}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

ステップ 2.1.1.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ です。

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

ステップ 2.2

微分係数が $[1, 2]$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

関数が $[1, 2]$ で連続か求めるために、 $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$\frac{1}{4 x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

$4 x^{2} = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1.1

$4 x^{2} = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.1.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.1.2.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.1.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.2.1.2.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.1.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.2.1.2.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.2.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 2.2.2

$f' (x)$ は $[1, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2.3

微分係数が $[1, 2]$ で連続なので、関数は $[1, 2]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 3

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間 $[1, 2]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間 $[1, 2]$ 上で連続です。

ステップ 4

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 4.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 4.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 4.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 4.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4 x}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 4.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{4}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

ステップ 4.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

ステップ 5

関数の弧の長さを求めるために公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ を利用してます。

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

ステップ 6

積分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 6.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 6.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 6.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

ステップ 6.3

$(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.4.1.3

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.4.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

ステップ 6.5

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

ステップ 6.6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

ステップ 6.7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

ステップ 6.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

ステップ 6.9

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 6.10

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1

$2$ および $1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 6.10.2

$2$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 6.10.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.3.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 6.10.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 6.10.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 6.10.3.4

$8$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 6.10.3.5

$4$ と $\frac{7}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 6.10.3.6

$4$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 6.10.3.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 6.10.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

ステップ 6.10.3.9

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 6.10.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

ステップ 6.10.3.11

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

ステップ 6.10.3.12

$\frac{28}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 6.10.3.13

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 6.10.3.14

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.3.14.1

$\frac{28}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 6.10.3.14.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 6.10.3.14.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

ステップ 6.10.3.14.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

ステップ 6.10.3.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

ステップ 6.10.3.16

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.3.16.1

$28$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

ステップ 6.10.3.16.2

$56$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

ステップ 6.10.3.17

$\frac{1}{4}$ に $\frac{59}{6}$ をかけます。

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

ステップ 6.10.3.18

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{59}{24}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{59}{24}$

10進法形式：

$2.458\overline{3}$

帯分数形：

$2 \frac{11}{24}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例