微分積分例

$\frac{3}{x} - \frac{x}{y} = 2$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{3}{x} - \frac{x}{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.6

$y$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.7

$\frac{x}{y}$ に $0$ をかけます。

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

ステップ 2.3.8

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

項をまとめます。

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ステップ 2.5.1.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.5.1.3

$- \frac{3}{x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.5.1.4

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.5.1.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x^{2} y^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.5.1.5.1

$\frac{3}{x^{2}}$ に $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ をかけます。

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.5.1.5.2

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$ に $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

ステップ 2.5.1.5.3

$y^{2} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 2.5.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 y^{2} - (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y') = 0$

ステップ 5.2

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{2} (- x y') = 0$

ステップ 5.2.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x \cdot x^{2}) (- 1 y') = 0$

ステップ 5.2.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x^{1} x^{2}) (- 1 y') = 0$

ステップ 5.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{1 + 2} (- 1 y') = 0$

ステップ 5.2.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{3} (- 1 y') = 0$

ステップ 5.2.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 3 y^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{3} y' = 0$

ステップ 5.2.1.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 y^{2} - x^{2} y + 1 x^{3} y' = 0$

ステップ 5.2.1.3.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$- 3 y^{2} - x^{2} y + x^{3} y' = 0$

ステップ 5.2.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.2.1

方程式の両辺に $3 y^{2}$ を足します。

$- x^{2} y + x^{3} y' = 3 y^{2}$

ステップ 5.2.2.2

方程式の両辺に $x^{2} y$ を足します。

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$

ステップ 5.2.3

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ の各項を $x^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ の各項を $x^{3}$ で割ります。

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

ステップ 5.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

ステップ 5.2.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

ステップ 5.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.3.1

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.1.1

$x^{2}$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{3}}$

ステップ 5.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x}$

ステップ 5.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{2} x}$

ステップ 5.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

微分積分 例

微分積分例