微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{2 x - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$x$ を $2 x - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 - x^{2}}} d x$

ステップ 1.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 + x (- x)}} d x$

ステップ 1.3

$x$ を $x \cdot 2 + x (- x)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x (2 - x)}} d x$

ステップ 2

平方を完成させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot 2 + x (- x)$

ステップ 2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 \cdot x + x (- x)$

ステップ 2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot x - x \cdot x$

ステップ 2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$2 x - (x \cdot x)$

ステップ 2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x - x^{2}$

ステップ 2.1.5

$2 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 2 x$

ステップ 2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.4.2.1.3

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$d = - 1$

ステップ 2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

ステップ 2.5.2.1.3

$4$ を $- 4$ で割ります。

$e = 0 - - 1$

ステップ 2.5.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 + 1$

ステップ 2.5.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$e = 1$

ステップ 2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - 1)}^{2} + 1$ に代入します。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1}} d x$

ステップ 3

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

ステップ 4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

ステップ 4.2

$- u^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (u)$ である

$\arcsin (u) + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\arcsin (x - 1) + C$

微分積分 例

微分積分例