微分積分例

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

関数が $[0, 1]$ で連続か求めるために、 $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\sqrt{2 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 - x^{2} \geq 0$

ステップ 1.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 2$

ステップ 1.1.2.2

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.1.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.1.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 2$

ステップ 1.1.2.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.1.2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.1.2.5

$| x | \leq \sqrt{2}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.1.2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 1.1.2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.1.2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 1.1.2.6

$x \leq \sqrt{2}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.1.2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq \sqrt{2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.1.2.7.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

ステップ 1.1.2.7.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{2}$ を $- \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x \geq - \sqrt{2}$

ステップ 1.1.2.7.2

$x \geq - \sqrt{2}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

ステップ 1.1.2.8

解の和集合を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

区間記号：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

ステップ 1.2

$f (x)$ は $[0, 1]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ が微分可能か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 - x^{2}}$ を ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 2.1.1.8

総和則では、 $2 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.1.1.9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.1.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.1.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 2.1.1.13

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 2.1.1.13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 2.1.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.14

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.14.1

$2$ を $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.1.1.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

微分係数が $[0, 1]$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

関数が $[0, 1]$ で連続か求めるために、 $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.2.1.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

ステップ 2.2.1.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

ステップ 2.2.1.2

$\sqrt{2 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 - x^{2} \geq 0$

ステップ 2.2.1.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 2$

ステップ 2.2.1.3.2

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.1

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.2.1.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.2.1.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.2.1.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 2$

ステップ 2.2.1.3.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.3.5

$| x | \leq \sqrt{2}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.2.1.3.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.3.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.2.1.3.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.3.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.2.1.3.6

$x \leq \sqrt{2}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.3.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq \sqrt{2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.7.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.7.1.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 2.2.1.3.7.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 2.2.1.3.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 2.2.1.3.7.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.7.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.3.7.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{2}$ を $- \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x \geq - \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.3.7.2

$x \geq - \sqrt{2}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

ステップ 2.2.1.3.8

解の和集合を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

ステップ 2.2.1.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 - x^{2}}$ を ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.2.2.1

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.2.2.1.1

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5.2.2.1.2

簡約します。

$2 - x^{2} = 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 - x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.5.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.3.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x^{2} = - 2$

ステップ 2.2.1.5.3.2

$- x^{2} = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.3.2.1

$- x^{2} = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.2.1.5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.2.1.5.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.2.1.5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.3.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 2$

ステップ 2.2.1.5.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.5.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.5.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.5.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 2.2.1.6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

区間記号：

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

ステップ 2.2.2

$f' (x)$ は $[0, 1]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2.3

微分係数が $[0, 1]$ で連続なので、関数は $[0, 1]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 3

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間 $[0, 1]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間 $[0, 1]$ 上で連続です。

ステップ 4

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 - x^{2}}$ を ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $2 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

ステップ 4.8

総和則では、 $2 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 4.9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 4.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 4.13

項を簡約します。

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ステップ 4.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 4.13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 4.13.3

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14

共通因数を約分します。

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ステップ 4.14.1

$2$ を $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

関数の弧の長さを求めるために公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ を利用してます。

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例