微分積分例

${(x + 1)}^{3} - x^{3}$

ステップ 1

総和則では、 ${(x + 1)}^{3} - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.6

$3$ に $1$ をかけます。

$3 {(x + 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 {(x + 1)}^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x + 1)}^{2} - (3 x^{2})$

ステップ 3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$- 3 x^{2} + 3 {(x + 1)}^{2}$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$- 3 x^{2} + 3 ((x + 1) (x + 1))$

ステップ 4.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 4.2.2.1

分配則を当てはめます。

$- 3 x^{2} + 3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

ステップ 4.2.2.2

分配則を当てはめます。

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

ステップ 4.2.2.3

分配則を当てはめます。

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 4.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 4.2.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 4.2.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

ステップ 4.2.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1)$

ステップ 4.2.3.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 2 x + 1)$

ステップ 4.2.4

分配則を当てはめます。

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

ステップ 4.2.5

簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

ステップ 4.2.5.2

$3$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3$

ステップ 4.3

$- 3 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$0 + 6 x + 3$

ステップ 4.4

$0$ と $6 x$ をたし算します。

$6 x + 3$

微分積分 例

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