微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{\sqrt{x}}$ を $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

ステップ 1.2

$\sqrt{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\sqrt{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

ステップ 3

$\sqrt{x} \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

ステップ 4.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

ステップ 4.1.3

分子が正で、分母 $\sqrt{x}$ が0に近づき、右側の $0$ に近い $x$ について0より大きいので、関数は境界なく増加します。

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

ステップ 4.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

ステップ 4.3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

ステップ 4.3.5

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

ステップ 4.3.5.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

ステップ 4.3.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

ステップ 4.3.6

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

ステップ 4.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

ステップ 4.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

ステップ 4.3.9

公分母の分子をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

ステップ 4.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

ステップ 4.3.10.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

ステップ 4.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

ステップ 4.3.12

簡約します。

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ステップ 4.3.12.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

ステップ 4.3.12.2

項をまとめます。

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ステップ 4.3.12.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

ステップ 4.3.12.2.2

$2$ を $x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5

因数をまとめます。

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ステップ 4.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5.2

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5.3

$\frac{- 2}{x}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

ステップ 4.6

約分します。

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ステップ 4.6.1

$x$ を $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

ステップ 4.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

ステップ 4.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

ステップ 4.6.2.3

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

ステップ 4.6.2.4

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

ステップ 4.6.2.5

$- 2 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{1}{2}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

答えを簡約します。

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ステップ 7.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 7.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.3.1

共通因数を約分します。

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 7.1.3.2

式を書き換えます。

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

ステップ 7.1.4

指数を求めます。

$e^{- 2 \cdot 0}$

ステップ 7.1.5

$- 2$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 7.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

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