微分積分例

$y = x^{\cos (x)}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{\cos (x)})$

ステップ 2

$\cos (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\cos (x)})$ を展開します。

$\ln (y) = \cos (x) \ln (x)$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (x)$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$\cos (x) \ln (x)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.4

$\cos (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))$

ステップ 3.2.6

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}) x^{\cos (x)}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{x} x^{\cos (x)}$

ステップ 5.2

$\frac{\cos (x)}{x}$ と $x^{\cos (x)}$ をまとめます。

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x)}}{x}$

ステップ 5.3

$x^{\cos (x)}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を $\cos (x) x^{\cos (x)}$ で因数分解します。

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x^{1}}$

ステップ 5.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.3

共通因数を約分します。

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.4

式を書き換えます。

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x) - 1}}{1}$

ステップ 5.3.2.5

$\cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ を $1$ で割ります。

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$

ステップ 5.4

$- \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ の因数を並べ替えます。

$y' = - x^{\cos (x)} \sin (x) \ln (x) + x^{\cos (x) - 1} \cos (x)$

微分積分 例

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