微分積分例

$\sqrt{x + y} + x y = 21$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + y}$ を ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y = 21$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y) = \frac{d}{d x} (21)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 ${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.10

$\frac{1}{2}$ と ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \cdot 1$

ステップ 3.3.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$

ステップ 4

$21$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $21$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(1 + y') (\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + x y' + y = 0$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$1 + y'$ に $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y = 0$

ステップ 6.1.2

$x y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

ステップ 6.1.3

$x y'$ と $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

ステップ 6.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + y' + x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

ステップ 6.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

ステップ 6.1.6

$y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.7

$y$ と $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 6.3

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.3.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.3.1.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

ステップ 6.3.1.2

方程式の両辺から $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2

$y'$ を $y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.2.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$y'$ を $2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3

$y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.3.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (1) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.3.3

$- 1$ を $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.3.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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