微分積分例

$x + y = \frac{x}{y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x + y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{y})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x y' + y}{y^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 + y' = \frac{- x y' + y}{y^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$(1 + y') y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$(1 + y') y^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2.2

$y^{2}$ と $y' y^{2}$ を並べ替えます。

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' y^{2} + y^{2} = - x y' + y$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を移動させます。

$y' y^{2} + y^{2} = - 1 y' x + y$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

$- 1 y'$ を $- y'$ に書き換えます。

$y' y^{2} + y^{2} = - y' x + y$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺に $y' x$ を足します。

$y' y^{2} + y^{2} + y' x = y$

ステップ 5.3.3

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$y' y^{2} + y' x = y - y^{2}$

ステップ 5.3.4

$y'$ を $y' y^{2} + y' x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.4.1

$y'$ を $y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

ステップ 5.3.4.2

$y'$ を $y' x$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

ステップ 5.3.4.3

$y'$ を $y' (y^{2}) + y' (x)$ で因数分解します。

$y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$

ステップ 5.3.5

$y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ の各項を $y^{2} + x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

$y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ の各項を $y^{2} + x$ で割ります。

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

ステップ 5.3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.5.2.1

$y^{2} + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

ステップ 5.3.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

ステップ 5.3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y - y^{2}}{y^{2} + x}$

ステップ 5.3.5.3.2

$y$ を $y - y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.5.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y^{1} - y^{2}}{y^{2} + x}$

ステップ 5.3.5.3.2.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot 1 - y^{2}}{y^{2} + x}$

ステップ 5.3.5.3.2.3

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- y)}{y^{2} + x}$

ステップ 5.3.5.3.2.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (- y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$

微分積分 例

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