微分積分例

$y = x \sqrt{x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x \cdot x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

ステップ 4.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

ステップ 4.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

微分積分 例

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