微分積分例

$y = 12^{3 x^{2} + 10 x - 6} + e^{7 x} - 15 x$

ステップ 1

総和則では、 $12^{3 x^{2} + 10 x - 6} + e^{7 x} - 15 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12^{3 x^{2} + 10 x - 6}] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [12^{3 x^{2} + 10 x - 6}] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [12^{3 x^{2} + 10 x - 6}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = 12^{x}$ および $g (x) = 3 x^{2} + 10 x - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x^{2} + 10 x - 6$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [12^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 10 x - 6] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $12$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$12^{u_{1}} \ln (12) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 10 x - 6] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x^{2} + 10 x - 6$ で置き換えます。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 10 x - 6] + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.2

総和則では、 $3 x^{2} + 10 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.5

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 (2 x) + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 (2 x) + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.7

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (3 (2 x) + 10 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.8

$2$ に $3$ をかけます。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.9

$10$ に $1$ をかけます。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 2.10

$6 x + 10$ と $0$ をたし算します。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + \frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [e^{7 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $7 x$ とします。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 3.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 3.4

$7$ に $1$ をかけます。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 3.5

$7$ を $e^{7 x}$ の左に移動させます。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + 7 e^{7 x} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- 15 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + 7 e^{7 x} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + 7 e^{7 x} - 15 \cdot 1$

ステップ 4.3

$- 15$ に $1$ をかけます。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} \ln (12) (6 x + 10) + 7 e^{7 x} - 15$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$12^{3 x^{2} + 10 x - 6} (6 x + 10) \ln (12) + 7 e^{7 x} - 15$

微分積分 例

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