微分積分例

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - a}$ を ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - a$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - a$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - a$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.9

総和則では、 $x - a$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ です。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.11

$- a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- a$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.12

式を簡約します。

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ステップ 1.1.12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.12.2

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.1.14

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.15

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.16

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18

指数を足して ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.18.1

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.19

${(x - a)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.20

$2$ を $x - a$ の左に移動させます。

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21

簡約します。

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ステップ 1.1.21.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.21.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.2.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.4

$- 1$ を $- 2 a$ で因数分解します。

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.5

$- 1$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.6

$- 1$ を $- (2 a) - (- 3 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.7

$- (2 a - 3 x)$ を $- 1 (2 a - 3 x)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 a - 3 x = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $2 a$ を引きます。

$- 3 x = - 2 a$

ステップ 2.3.2

$- 3 x = - 2 a$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 3 x = - 2 a$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{2 a}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x \sqrt{x - a}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{2 a}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{2 a}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- a$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 4.1.2.2

$- a$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

ステップ 4.1.2.4

因数分解した形で $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.2.4.1

$a$ を $2 a - a \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.2.4.1.1

$a$ を $2 a$ で因数分解します。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

ステップ 4.1.2.4.1.2

$a$ を $- a \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

ステップ 4.1.2.4.1.3

$a$ を $a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

ステップ 4.1.2.4.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

ステップ 4.1.2.4.3

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

ステップ 4.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$- 1$ を $a$ の左に移動させます。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

ステップ 4.1.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

ステップ 4.1.2.6

$\frac{2 a}{3}$ と $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例