微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{8 x \cot (2 x)}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{8}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{x \cot (2 x)}$

ステップ 1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

ステップ 1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

ステップ 1.4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

ステップ 2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (2 x)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $x \cot (2 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ - 0.1 & 0.49331548 \\ - 0.01 & 0.49993333 \\ - 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.5$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $x \cot (2 x)$ の極限は $0.5$ です。

$0.5$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (2 x)$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $x \cot (2 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ 0.1 & 0.49331548 \\ 0.01 & 0.49993333 \\ 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.5$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $x \cot (2 x)$ の極限は $0.5$ です。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$0.5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

$0.5$ を $1$ で因数分解します。

$\frac{0.5 (2)}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

ステップ 9.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{0.5 \cdot 2}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

ステップ 9.1.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{8} \cos (5 \cdot 0)$

ステップ 9.2

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{2}{8} \cos (0)$

ステップ 9.3

$\frac{2}{8}$ と $\cos (0)$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (0)}{8}$

ステップ 9.4

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

$2$ を $2 \cos (0)$ で因数分解します。

$\frac{2 (\cos (0))}{8}$

ステップ 9.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

ステップ 9.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

ステップ 9.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (0)}{4}$

ステップ 9.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

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