微分積分例

$\int_{1}^{4} \frac{2 + x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \frac{2 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4

$(2 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

ステップ 4.6.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$4$ および $1$ で $2 x^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 9.2

$4$ および $1$ で $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ の値を求めます。

$2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.1

共通因数を約分します。

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.3.2

式を書き換えます。

$2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.4

指数を求めます。

$2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$2 (4 - 2 \cdot 1) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 (4 - 2) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.8

$4$ から $2$ を引きます。

$2 \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.9

$2$ に $2$ をかけます。

$4 + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.10

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 + \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.11

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.12.1

共通因数を約分します。

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.12.2

式を書き換えます。

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.13

$2$ を $5$ 乗します。

$4 + \frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.14

$\frac{2}{5}$ と $32$ をまとめます。

$4 + \frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.15

$2$ に $32$ をかけます。

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 9.3.16

1のすべての数の累乗は1です。

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

ステップ 9.3.17

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

ステップ 9.3.18

公分母の分子をまとめます。

$4 + \frac{64 - 2}{5}$

ステップ 9.3.19

$64$ から $2$ を引きます。

$4 + \frac{62}{5}$

ステップ 9.3.20

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{62}{5}$

ステップ 9.3.21

$4$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{62}{5}$

ステップ 9.3.22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \cdot 5 + 62}{5}$

ステップ 9.3.23

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.23.1

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{20 + 62}{5}$

ステップ 9.3.23.2

$20$ と $62$ をたし算します。

$\frac{82}{5}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{82}{5}$

10進法形式：

$16.4$

帯分数形：

$16 \frac{2}{5}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例