微分積分例

$lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{{(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 2} \sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 2} (t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4 \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$t$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を ${(t - 2)}^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$t$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

すべての $t$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{(2 + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{(2 + 4) \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{6 {(2 - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6 {(2 - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.5

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.6

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(3 t - 6)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} 3 t - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} 3 t - lim_{t \to 2} 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.3

$3$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(3 lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.4

$t$ が $2$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(3 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{{(6 - 1 \cdot 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0}{{(6 - 6)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{{(3 t - 6)}^{2}} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]$ を $\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 2^{2}}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$(t + 4) {(t - 2)}^{4}$ を ${({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 2^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

${(t - 2)}^{4}$ を ${({(t - 2)}^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {({(t - 2)}^{2})}^{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.2.1.2

$t + 4$ と ${({(t - 2)}^{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{{({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 4)}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{{({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 2^{2})}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 2^{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 4}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t + 4}$ を ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$f (t) = {(t - 2)}^{2}$ および $g (t) = {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = t + 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $t + 4$ とします。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $t + 4$ で置き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.12

$\frac{1}{2}$ と ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{{(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.14

$\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(t - 2)}^{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4] + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.15

総和則では、 $t + 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.17

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.18

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.19

$\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.20

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t - 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.20.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t - 2$ とします。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.20.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.20.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t - 2$ で置き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.21

$2$ を ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.22

総和則では、 $t - 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.23

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.24

$- 2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.25

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.26

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.27

$2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \cdot \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.28

$2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)$ と $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.29

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.30

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.31

指数を足して ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.31.1

${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.31.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.31.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.31.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{2}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.31.5

$2$ を $2$ で割ります。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{1} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.32

$4 {(t + 4)}^{1} (t - 2)$ を簡約します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 (t + 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.1

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1.1

${(t - 2)}^{2}$ を $(t - 2) (t - 2)$ に書き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(t - 2) (t - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t (t - 2) - 2 (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t \cdot t + t \cdot - 2 - 2 (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t \cdot t + t \cdot - 2 - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1.3.1.1

$t$ に $t$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} + t \cdot - 2 - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.3.1.2

$- 2$ を $t$ の左に移動させます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 2 \cdot t - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 2 t - 2 t + 4 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.3.2

$- 2 t$ から $2 t$ を引きます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.4

$4$ に $4$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + (4 t + 16) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(4 t + 16) (t - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t (t - 2) + 16 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 16 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1.6.1.1

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.2.1.6.1.1.1

$t$ を移動させます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.6.1.1.2

$t$ に $t$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.6.1.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} - 8 t + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.6.1.3

$16$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} - 8 t + 16 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.1.6.2

$- 8 t$ と $16 t$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} + 8 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.2

$t^{2}$ と $4 t^{2}$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} - 4 t + 4 + 8 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.3

$- 4 t$ と $8 t$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 t + 4 - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.2.4

$4$ から $32$ を引きます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.3

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 28 = - 140$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.3.1.1

$4$ を $4 t$ で因数分解します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 (t) - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.3.1.2

$4$ を $- 10$ プラス $14$ に書き換える

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + (- 10 + 14) t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.3.1.3

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} - 10 t + 14 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.33.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(5 t^{2} - 10 t) + 14 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t (t - 2) + 14 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.33.3.3

最大公約数 $t - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

ステップ 1.3.34

${(3 t - 6)}^{2}$ を $(3 t - 6) (3 t - 6)$ に書き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [(3 t - 6) (3 t - 6)]}$

ステップ 1.3.35

分配法則（FOIL法）を使って $(3 t - 6) (3 t - 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.35.1

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t - 6) - 6 (3 t - 6)]}$

ステップ 1.3.35.2

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t - 6)]}$

ステップ 1.3.35.3

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

ステップ 1.3.36

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.36.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.36.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

ステップ 1.3.36.1.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.36.1.2.1

$t$ を移動させます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

ステップ 1.3.36.1.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

ステップ 1.3.36.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

ステップ 1.3.36.1.4

$- 6$ に $3$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

ステップ 1.3.36.1.5

$3$ に $- 6$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 18 t - 6 \cdot - 6]}$

ステップ 1.3.36.1.6

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 18 t + 36]}$

ステップ 1.3.36.2

$- 18 t$ から $18 t$ を引きます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 36 t + 36]}$

ステップ 1.3.37

総和則では、 $9 t^{2} - 36 t + 36$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

ステップ 1.3.38

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $9 t^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

ステップ 1.3.39

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

ステップ 1.3.40

$2$ に $9$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

ステップ 1.3.41

$- 36$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 36 t$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [36]}$

ステップ 1.3.42

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [36]}$

ステップ 1.3.43

$- 36$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 + \frac{d}{d t} [36]}$

ステップ 1.3.44

$36$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 + 0}$

ステップ 1.3.45

$18 t - 36$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 t - 36}$

ステップ 1.5

${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{t + 4}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4}} \cdot \frac{1}{18 t - 36}$

ステップ 1.6

$\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4}}$ に $\frac{1}{18 t - 36}$ をかけます。

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{\sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 2} (t - 2) (5 t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 2} t - 2 \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.2

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 2) \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.3

$t$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.4

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{t \to 2} 5 t + lim_{t \to 2} 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.5

$5$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.6

$t$ が $2$ に近づくと定数である $14$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.7

すべての $t$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.7.2

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 2) \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.8.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.8.3

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot (10 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.8.4

$10$ と $14$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 24}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.2.8.5

$0$ に $24$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

ステップ 3.1.3.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

ステップ 3.1.3.3

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

ステップ 3.1.3.4

$t$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

ステップ 3.1.3.5

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (lim_{t \to 2} 18 t - lim_{t \to 2} 36)}$

ステップ 3.1.3.6

$18$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 36)}$

ステップ 3.1.3.7

$t$ が $2$ に近づくと定数である $36$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 36)}$

ステップ 3.1.3.8

すべての $t$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.8.1

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2 + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 36)}$

ステップ 3.1.3.8.2

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2 + 4} \cdot (18 \cdot 2 - 1 \cdot 36)}$

ステップ 3.1.3.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.9.1

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (18 \cdot 2 - 1 \cdot 36)}$

ステップ 3.1.3.9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.9.2.1

$18$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (36 - 1 \cdot 36)}$

ステップ 3.1.3.9.2.2

$- 1$ に $36$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (36 - 36)}$

ステップ 3.1.3.9.3

$36$ から $36$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.9.4

$\sqrt{6}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.9.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.10

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{\sqrt{t + 4} (18 t - 36)} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [(t - 2) (5 t + 14)]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [(t - 2) (5 t + 14)]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.2

$f (t) = t - 2$ および $g (t) = 5 t + 14$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) \frac{d}{d t} [5 t + 14] + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $5 t + 14$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [14]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.4

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.6

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.7

$14$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $14$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 + 0) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.8

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) \cdot 5 + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.9

$5$ を $t - 2$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 \cdot (t - 2) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.10

総和則では、 $t - 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.12

$- 2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (1 + 0)}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.13

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.14

$5 t + 14$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.15.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 t + 5 \cdot - 2 + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.15.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.15.2.1

$5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 t - 10 + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.15.2.2

$5 t$ と $5 t$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t - 10 + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.15.2.3

$- 10$ と $14$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.16

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t + 4}$ を ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 t - 36)]}$

ステップ 3.3.17

$f (t) = {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 18 t - 36$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [18 t - 36] + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.3.18

総和則では、 $18 t - 36$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [18 t] + \frac{d}{d t} [- 36]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [18 t] + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.3.19

$18$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $18 t$ の微分係数は $18 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.3.20

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.3.21

$18$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.3.22

$- 36$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 + 0) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.3.23

$18$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 18 + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.3.24

$18$ を ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 \cdot {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 3.3.25

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = t + 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.25.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t + 4$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.25.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.25.3

$u$ のすべての発生を $t + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.26

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.27

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.28

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.29

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.29.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.29.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.30

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.31

$\frac{1}{2}$ と ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{{(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.32

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

ステップ 3.3.33

総和則では、 $t + 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])}$

ステップ 3.3.34

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [4])}$

ステップ 3.3.35

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

ステップ 3.3.36

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

ステップ 3.3.37

$18 t - 36$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.38.1

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{(18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.38.2.1

$18 t - 36$ に $\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{18 t - 36}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.2

$2$ を $18 t$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 \cdot 9 t - 36}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.3

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 \cdot 9 t + 2 \cdot - 18}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.4

$2$ を $2 (9 t) + 2 (- 18)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.38.2.5.1

$2$ を $2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}})} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 t - 18}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.6

$9$ を $9 t - 18$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.38.2.6.1

$9$ を $9 t$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t) - 18}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.6.2

$9$ を $- 18$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 t + 9 \cdot - 2}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.2.6.3

$9$ を $9 t + 9 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.38.3

$18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2) + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.38.5.1

$9$ を $9 (t - 2) + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.38.5.1.1

$9$ を $18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2) + 9 \cdot 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.1.2

$9$ を $9 (t - 2) + 9 (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.2

指数を足して ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.38.5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{2}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.2.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{1})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.3

$2 {(t + 4)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 (t + 4))}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 t + 2 \cdot 4)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.5

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 t + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.6

$t$ と $2 t$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t - 2 + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.7

$- 2$ と $8$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t + 6)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.8

$3$ を $3 t + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.38.5.8.1

$3$ を $3 t$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 (t) + 6)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.8.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t + 3 \cdot 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.8.3

$3$ を $3 t + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 \cdot 3 (t + 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.3.38.5.9

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{27 (t + 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} (10 t + 4) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{27 (t + 2)}$

ステップ 3.5

${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{t + 4}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} (10 t + 4) \frac{\sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$

ステップ 3.6

$10 t + 4$ に $\frac{\sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{27}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} lim_{t \to 2} \frac{(10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{t + 2}$

ステップ 4.2

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{lim_{t \to 2} (10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 4.3

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{lim_{t \to 2} 10 t + 4 \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 4.4

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(lim_{t \to 2} 10 t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 4.5

$10$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 4.6

$t$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 4.7

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 4.8

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 4.9

$t$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 4.10

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 2}$

ステップ 4.11

$t$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 5

すべての $t$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 5.2

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

ステップ 5.3

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{27}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 27} \cdot \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

ステップ 6.1.2

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

ステップ 6.2

$10 \cdot 2 + 4$ と $2 + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ を $(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 + 2}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot 1 + 2}$

ステップ 6.2.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot 1 + 2 (1)}$

ステップ 6.2.2.3

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot (1 + 1)}$

ステップ 6.2.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot (1 + 1)}$

ステップ 6.2.2.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(10 + 2) \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

ステップ 6.3.2

$10$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

ステップ 6.3.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{1 + 1}$

ステップ 6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{2}$

ステップ 6.5

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$6$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{1}{6 (9)} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{2}$

ステップ 6.5.2

$6$ を $12 \sqrt{6}$ で因数分解します。

$\frac{1}{6 (9)} \cdot \frac{6 (2 \sqrt{6})}{2}$

ステップ 6.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6 \cdot 9} \cdot \frac{6 (2 \sqrt{6})}{2}$

ステップ 6.5.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{2}$

ステップ 6.6

$\frac{1}{9}$ に $\frac{2 \sqrt{6}}{2}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{9 \cdot 2}$

ステップ 6.7

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{18}$

ステップ 6.8

$2$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$2$ を $2 \sqrt{6}$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{6})}{18}$

ステップ 6.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{6}}{9}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{6}}{9}$

10進法形式：

$0.27216552 \dots$

微分積分 例

微分積分例